Es uno de los violonchelistas más destacados de su generación. Galardonado en numerosos concursos internacionales, actúa regularmente con orquestas como la Royal Philharmonic Orchestra de Londres, la Orquesta Sinfónica de la Radio de Berlín, la Orquesta Mozarteum de Salzburgo y la Kremerata Baltica.

Ha colaborado con directores de orquesta de renombre como Daniel Barenboim, Christoph Eschenbach, Joana Mallwitz, Cristian Măcelaru y Sir Simon Rattle, y se ha presentado en las salas de conciertos más prestigiosas del mundo, incluyendo la Filarmónica de Berlín, el Carnegie Hall, el Kennedy Center, el Musikverein de Viena, el Suntory Hall de Tokio y el Concertgebouw de Ámsterdam.

Invitado frecuente a festivales internacionales, ha actuado junto a artistas como Emanuel Ax, Anne-Sophie Mutter, Gidon Kremer y Lisa Batiashvili. Es el fundador y director artístico del Festival Internacional de Música de Coblenza (IMUKO).

Entre sus actuaciones más destacadas, tanto recientes como futuras, se incluyen presentaciones en la Elbphilharmonie de Hamburgo, las Filarmónicas de Berlín y Colonia, la Tonhalle de Zúrich, el Concertgebouw de Ámsterdam, el Suntory Hall de Tokio, el Lincoln Center de Nueva York y su debut con la Orquesta del NCPA de Pekín.

Sus grabaciones para Berlin Classics y Sony Classical han recibido reconocimiento internacional. La revista The Strad elogió su «tono cautivador y sensual», mientras que Gramophone resaltó su «sensibilidad arquitectónica». Sus grabaciones han sido galardonadas con premios como el OPUS Klassik y el Supersonic.

Comprometido tanto con el repertorio clásico como con el contemporáneo, Klöckner ha estrenado obras de Wolfgang Rihm, Dai Fujikura, Eric Tanguy y Eun Hwa Cho. Estudió con Martin Ostertag en la Universidad de Música de Karlsruhe y en la Academia Kronberg con Frans Helmerson y Gary Hoffman. Es profesor de violonchelo en la École Normale de Musique de Paris.